N4
てくれない・てもらえない
Won't you?, Will you?, Could you?, Can you?, Would you?
今日だけ自転車を貸してくれないか？
Could you lend me your bike, just for today?
Explanation
「〜てくれない？」 and 「〜てもらえない？」 make a request as a negative question, which is softer than a plain 「〜て」: 「ちょっと手伝ってくれない？」 (Could you help me a bit?). The negative question leaves the other person room to say no. 「〜てもらえない？」 is more polite than 「〜てくれない？」. To an elder use 「〜ていただけませんか」 or 「〜てくださいませんか」.
Mixed up with
From casual to most polite: 「〜て」 < 「〜てくれる？」 < 「〜てくれない？」 < 「〜てくれますか」 < 「〜てくれませんか」 < 「〜てもらえませんか」 < 「〜ていただけませんか」.
A negative question is more polite than a positive one because it makes it easier to say no.
To ask someone not to do something: 「〜ないでくれませんか」, 「〜ないでもらえませんか」.